Системы двух случайных величин

8.       Системы двух случайных величин

8.1. Закон распределения двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел   и их вероятностей .

Функцией распределения двумерной случайной величины   называют функцию  , определяющую для каждой пары чисел x, y вероятность того, что   и  

Свойства функции распределения:

·         Значение функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

·         - неубывающая функция по каждому аргументу.

·         Имеют место предельные соотношения:

·         При   функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х; При   функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y.

Плотностью совместного распределения вероятностей   двумерной непрерывной случайной величины  называют вторую смешанную частную производную от функции распределения

 .

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения  по формуле

Свойства двумерной плотности распределения:

·         Двумерная плотность вероятности неотрицательна

·         Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности распределения равен 1:  

Плотности вероятностей составляющих двумерной случайной величины

8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины

Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Зависимые и независимые случайные величины:

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х и Y были независимые, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы  была равна произведению плотностей распределения составляющих: .

Корреляционный момент   случайных величин Х и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

Для непрерывных случайных величин

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен 0.

Коэффициентом корреляции  случайных величин Х и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

Коэффициент корреляции лежит в пределах от -1 до 1.