Повторение испытаний. Формула Бернулли, интегральная и локальная теоремы Лапласа.

3.       Повторение испытаний

3.1. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p () , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

 - Формула Бернулли

, где  

Также возможны случаи когда нас будет интересовать появление события А не ровно к раз, а :

·         Событие А появится менее k раз

·         Событие А появится более k раз

·         Событие А появится не менее k раз

·         Событие А появится не более k раз

Где каждое из слагаемых находится по формуле Бернулли

3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

При достаточно большом числе испытаний n  (в литературе нет четкого значения этого достаточно большого значения, чаще всего встречается при n>30) вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p, событие А появится ровно k раз.

  , где  

Где  - функция Лапласа

Данная функция является четной, т.е.  

Данная функция табулирована, т.е. ее значения занесены в таблицу.

Вероятность того, что события А появится в диапазоне от   до   раз необходимо находить сложением каждой вероятности, то при большой разнице между   и  данная операция представляется достаточно ресурсоёмкой. В таком случае необходимо использовать интегральную теорему Лапласа:

Если вероятность p наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность   того, что события А появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна

 , где  ;

 - функция Лапласа.

Интеграл  не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция  является нечётной

Данная функция  также табулирована.

3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в n испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа  , приближенно равна

Где:

 - функция Лапласа.

Интеграл  не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция  является нечётной

Данная функция  табулирована.

3.4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число , наступления события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p,  называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях ровно  раз, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытания. Наивероятнейшее число  определяют по формуле

При вычислениях следует помнить, что - натуральное число или нуль.