Основные теоремы

2.       Основные теоремы

2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно

События А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно.

Суммой двух события А и В называется событие с, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.

Сумой нескольких событий называется событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема сложения вероятностей совместных событий

В случае четырех и более события данная формула еще больше усложняется

События А и В называются независимыми, если вероятность появления события А не зависит от появления события В и наоборот: вероятность события в не зависит от появления события А.

События А и  В называются зависимыми, если  вероятность события В зависит от того появилось ли событие А или наоборот.

Произведением двух события А и В называется событие С, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее вы том, что данные события появятся одновременно.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Где - условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.

2.2. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть события   независимые, причем

Вероятность появления события А, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие :

2.3. Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь  при появлении одного из несовместных событий (гипотез)  , образующих полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность появления события А:

Данная формула называется формулой полной вероятности

2.4. Формула Байеса (Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно:  . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление события А. Вероятность того, что появилась i-ая гипотеза, при условии того, что произошло событие А

 , где вероятность события А находится с помощью формулы полной вероятности

Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).