Дискретные случайные величины

4.       Дискретные случайные величины

4.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Случайной величиной называется величина- которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает лишь отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть как конечным, так и бесконечным.

Математическое ожидание (M(x)).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму  произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Свойства  математического ожидания

·          , где C- постоянное число

·          

·          

·          , для независимых случайных величин Х и Y

Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

 , где n- число испытаний, p- вероятность появления интересующего нас события в одном испытании.

Дисперсия

Дисперсией дискретной случайной величины  называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

На практике чаще пользуются другой формулой

 , где  

Свойства дисперсии

·          , где C- постоянное число

·          

·          

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

 , где n- число испытаний, p- вероятность появления интересующего нас события в одном испытании.

Среднее квадратическое отклонение

4.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие  между возможными значениями и их вероятностями.

Сумма вероятностей всех событий должна равняться 1.

Некоторые законы распределения:

Биномиальное распределение

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Вероятность Биномиального распределения рассчитать онлайн

Распределение Пуассона

Вероятность каждого значения находится по формуле Пуассона

 , где  

Пусть производится n  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  А равна р. Причем, число испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала ( ). В этом случае и прибегают в формуле Пуассона.  Формула Пуассона, как и теоремы Лапласа дают приближенный результат, точной является только формула Бернулли.

Геометрическое распределение.

Случайная дискретная величина Х – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Случайная величина Х может принимать значения: 11.2.3….

Вероятность того, что для этого придется провести к испытаний

 , где p –вероятность появления события А в одном испытании,  

Ряд распределения имеет вид

Гипергеометрическое распределение

Распределение называется гипергеометрическим, если вероятность каждого значения Х находится по формуле

 - вероятность того, что из N элементов ,среди которых М обладает определенным свойством, возьмут n элементов, причем к из них будут обладать данным свойством.

4.3. Теоретические моменты

Начальным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины  

В частности,  

Тогда формулу для нахождения дисперсии можно представить в виде

Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины  

В частности,