Примеры Векторная алгебра

Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп.1-3 векторов требуется: 1) вычислить скалярное произведение; 2) найти модуль векторного произведения; 3) проверить коллинеарность и ортогональность; 4) убедиться, что векторы a, b, c образуют базис;

5) найти координаты вектора d в этом базисе.

                                                                                                                     

; ;  ;

 

Решение

 

1)     

Скалярное произведение векторов  и :

2)     

Векторное произведение векторов  и :

 

3) Проверим коллинеарность векторов  и :

Координаты векторов не пропорциональны, следовательно,  и  не коллинеарны.

Проверим ортогональность векторов  и

Следовательно, векторы не ортогональны.

4) Найдем смешанное произведение векторов , и :

Следовательно, векторы , и  не компланарны и образуют базис.

5) Найдем координаты α, β и γ вектора  в этом базисе:

Получим систему уравнений

Решим систему методом Гаусса

Полученная матрица эквивалента системе

, 

откуда

γ=

β=

α=

Таким образом,

Пример 2.

Даны четыре вектора  в некотором базисе. Показать, что векторы , ,  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

 

 

Решение

Составим определитель матрицы из координат векторов , ,  

и вычислим его:

Так как Δ≠0, то векторы , ,  линейно независимы и образуют базис.

Найдем координаты α, β и γ вектора  в этом базисе:

Получим систему уравнений

Решим систему методом Гаусса:

Полученная матрица эквивалента системе

γ=-2

β=

α=

Таким образом,

 

Ответ: