Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Рассмотрим знакочередующийся ряд, т.е. члены ряда имеют чередующиеся знаки:

  (1)

где  положительны.

Теорема Лейбница:

Если в знакочередующемся ряде    члены таковы, что

то ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Важно!

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то нетрудно оценить ошибку, которая получится, если заменить его сумму S частичной суммой  .  При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с  . Но эти числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого меньше первого члена этого ряда, следовательно, ошибка, совершаемая при замене S на , не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Пример:

Исследовать числовой ряд  на сходимость.

Решение:

 -знакочередующийся числовой ряд

Воспользуемся признаком Лейбница:

, то есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.