Существуют определенные интегралы, которые, как функции верхнего предела, не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда удобно вычислять с помощью рядов.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1:

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить определенный интеграл с точностью до  e=0,001.

.

Решение.

Воспользуемся разложением подынтегральной функции в ряд. Используем формулу:

.

Получаем:

Тогда заданный интеграл:

Т.к. второй член разложения , то для достижения заданной точности ( e=0,001) согласно признаку Лейбница, можем ограничиться только первым членом ряда. Имеем:

Пример  2:

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить определенный интеграл  с точностью до  e=0,001.

Решение.

Воспользуемся разложением функции    в степенной ряд:

Тогда

Интегрируя ряд почленно от 0 до 0,4, получим:

Так как четвёртый член ряда по модулю меньше 0,001, то, ограничившись первыми тремя его членами, сделаем ошибку менее 0,001:

Ответ: 0,367