Определение: степенным рядом называется функциональный ряд вида

 , где  - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал.

Теорема (Абеля):

1)      Если степенной ряд сходится при некотором значении  , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении х, для которого

 ;

2)      Если ряд расходится при некотором значении  , то он расходится при всяком х, для которого

Теорема:

Областью сходимости степенного ряда является интервал с цетром в начале координат.

Определение:

Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал от –R до +R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

На концах интервала вопрос о сходимости ряда решается индивидуально для каждого конретного ряда.

Отметим , что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охватывает всю ось ОХ (R=).

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле

или

Примеры:

 Пример1:

Найти область сходимости ряда

Решение.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: .

Т.к.  и , то

.

Итак, радиус сходимости ряда . Т.о. данный степенной ряд расходится, при  .

Исследуем сходимость ряда при .

Пусть. Подставим   в заданный степенной ряд и получим ряд

, который сходится.

Итак, областью сходимости данного степенного ряда является значение .

Пример2:

Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: .

Т.к.  и , то

.

Итак, радиус сходимости ряда . Определим интервал сходимости данного степенного ряда:

.

 – интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть . Подставим   в заданный степенной ряд и получим числовой ряд с положительными членами:

Получили расходящийся обобщенный гармонический ряд.

Значит,  не принадлежит области сходимости степенного ряда.

Пусть. Подставим   в заданный степенной ряд и получим знакочередующийся ряд

.

Для членов полученного ряда:

1)

2) , т.е.

В соответствии с признаком Лейбница данный ряд сходится и  принадлежит области сходимости степенного ряда.

Итак, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток .