Сравнение рядов с положительными членами

Пусть имеем два положительных ряда с положительными членами:

(1)

(2)

Для них справедливы следующие теоремы:

Теорема 1:

Если члены ряда  (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е.

и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Теорема 2:

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е.

и ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится.

Важно!

Обе теоремы справедливы только для рядов с положительными членами или если некоторые члены ряда равны нулю.

Если же среди членов ряда имеются отрицательные числа, то данные признаки перестают быть верными, т.е. их нельзя использовать.

Предельный признак сравнения.

 (1) сравним с эталонным  (2)

Если , где   и , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково (вместе  сходятся или расходятся).

Эталонные ряды:

·          - гармонический ряд (расходится)

·         -обобщенный гармонический ряд   

·         -геометрическая прогрессия

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Вопользуемся признаком сравнения, сравнив данный числовой ряд с положительными членами с гармоническим рядом

.

 Так как

и гармонический ряд является расходящимся, то и наш числовой ряд по признаку сравнения расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Исследуем данный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом  . Так как , то данный ряд расходится.

Вычислим предел:

Следовательно, оба ряда вместе расходятся согласно предельному признаку сравнения.

Ответ:  Ряд расходится.