Определение:

Пусть задача бесконечная последовательность чисел:  

Выражение   называется числовым рядом. При этом числа  называются членами ряда.

Определение:

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

Рассмотрим конечные суммы:

……

Если существует конечный предел

 то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Если  не существует, то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Теорема 1.

Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием  нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.

Обратная теорема:

Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких его членов.

На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Теорема 2.

Если ряд   сходится и его сумма равна S, то ряд

, где c=const, также сходится и его сумма равна cS.

Теорема 3.

Если ряды  и  сходятся и их суммы, соответственно, равны  и , то ряды

 и  также сходятся и их суммы, соответственно, равны  и .

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Есть необходимый и достаточные признаки сходимости рядов.

Примеры:

Пример 1.

Пользуясь определением, доказать сходимость ряда и найти его сумму.

.

Решение.

Вычислим значение n-ой частичной суммы  данного ряда. Для этого представим общий член в виде суммы элементарных дробей: .

Неизвестные  определяются из тождества:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получаем систему:

Отсюда находим: . Значит:

.

Теперь частичную сумму представим в виде:

Так как существует предел: , то по определению ряд сходится и его сумма равна .

Пример 2:

Пользуясь определением, доказать сходимость ряда  и найти его сумму.

Решение:

Вычислим значение n-ой частичной суммы

данного ряда. Для этого представим общий член ряда в виде суммы элементарных дробей.

Неизвестные при  и  определяем из тождества:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получаем систему:

Следовательно,

Теперь частичную сумму ряда представим в виде:

Так как существует предел

то по определению ряд сходится и его сумма равна

Ответ: ряд сходится и его сумма равна