Если интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам интегрирования уравнения.

Пример:

Найти первые четыре (отличные от нуля) члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.

, .

Решение.

Из уравнения видно, что неизвестная функция  имеет производные любых порядков. Применим для исходного уравнения метод последовательных дифференцирований.

Решение ищем в виде

Из заданного уравнения  

С учетом начальных условий   при х = 0  получаем

.

Из заданного уравнения  находим:

При х = 0:

.

При х = 0:

При х = 0:

.

При х = 0:

.

Подставим найденные значения

 в формулу

 и получим искомое решение: