Интегральный признак сходимости ряда

Теорема:

Пусть члены ряда

   (1)

положительны и не возрастают, т.е.  ,  и пусть функция  такая непрерывная невозрастающая функция, что

….

Тогда справедливы следующие утверждения:

1)      если несобственный интеграл   сходится (равен конечному числу), то сходится и ряд (1);

2)      если несобственный интеграл расходится (предел равен бесконечности или не существует), то расходится и ряд (1).

Пример:

Исследовать на сходимость числовой ряд:

 .

Решение.

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим интеграл:

Т.к. несобственный интеграл сходится, то на основании интегрального признака Коши заключаем, что ряд также сходится.

Ответ: сходится.