Пример 1.

Исследовать функцию  и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции

2) Чётность, нечётность функции:

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Точки разрыва функции :

 - вертикальная асимптота

Найдём наклонные асимптоты функции :

 - горизонтальная асимптота

4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:

               - критическая точка первого рода

Функция возрастает при и при .

Точек экстремума нет.

5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:

              - критические точки второго рода

Функция выпукла при  и вогнута при .

 - точка перегиба

6) Точки пересечения с осями координат:

с :  - точек пересечения с нет

с: 

7) Построим график функции:

Пример 2.

Исследовать функцию  и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции

2) Чётность, нечётность функции:

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Точки разрыва функции :

 - вертикальная асимптота

Найдём наклонные асимптоты функции :

 - горизонтальная асимптота

4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:

               - критические точки первого рода

Функция возрастает при и убывает при  и при.

 - точка максимума

5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:

              - критические точки второго рода

Функция выпукла при и и вогнута при .

 - точка перегиба

6) Точки пересечения с осями координат:

с :

с: 

7) Построим график функции: