Несобственные интегралы второго рода. Интеграл от разрывной функции.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при  , а при x=с функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле  как о пределе интегральных сумм, так как f(x) не определена на отрезке , и поэтому этот предел может и не существовать.

Интеграл  от функции f(x), разрывной в точке с, определяется следующим образом:

Если предел стоящий справа существует, то интеграл называют несобственным сходящимся интегралом второго рода, в противном случае интеграл называют расходящимся.

Если функция имеет разрыв на левом конце отрезка , то

Примеры:

Пример 1:

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

.

Решение.

Используя определение несобственного интеграла, можно записать:

Несобственный интеграл второго рода сходится и равен 1.

Пример 2:

.

Решение.

Это несобственный интеграл II рода. Согласно определению несобственного интеграла II рода

имеем

.

Ответ: заданный интеграл расходится.

Теорема1:

Если на отрезке  функции f(x) и   разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка выполнены неравенства , и   сходится, то  также сходится.

Теорема 2: Если на отрезке  функции f(x) и   разрывны в точке с, причем , и    расходится, то  также расходится.

Теорема 3:

Если f(x) – функция знакопеременная на отрезке , разрывная только в точке с, и несобственный интеграл  от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл  от самой функции.