Несобственные интегралы первого рода. Интегралы с бесконечными пределами.

Определение:

Если существует конечный предел  , то этот интеграл называют несобственным интегралом первого рода от функции f(x)  на интервале   и обозначают .

Следовательно:

Говорят, что в данном случае несобственный интеграл  существует и сходится. Если  при   не имеет конечного предела, то говорят, что  не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы первого рода и для других бесконечных интервалов

Примеры:

Пример 1:

Воспользуемся определением несобственного интеграла 1-го рода

Представим рациональную дробь в виде суммы простейших дробей

Пример 2:

.

Решение.

Это несобственный интеграл I рода (с бесконечным пределом интегрирования). Согласно определению несобственного интеграла I рода

имеем

.

Данный интеграл расходится.

Теорема 1: Если для всех х ( ) выполняется неравенство  и если  сходится, то  также сходится, при этом

.

Теорема 2:  Если для всех х ( ) выполняется неравенство , причем  расходится, то расходится и интеграл .

Теорема 3: Если интеграл  сходится, то сходится и интеграл .