Даны четыре точки А₁(х₁,у₁,), А₂(х₂,у₂,), А₃(х₃,у₃,), А₄(х₄,у₄,). Требуется найти:
1) уравнение плоскости А₁А₂А₃;
2) уравнение прямой, проходящей через точку А₄, перпендикулярно плоскости А₁А₂А₃;
3) расстояние от точки А₄ до плоскости А₁А₂А₃;
4) синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃;
5) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А₁А₂А₃

А₁(2;3;5), А₂(5;3;-7), А₃(1;2;7), А₄(4;2;0)

Решение

1) Уравнение плоскости А₁А₂А₃

-12(x-2)+6(y-3)-3(z-5)=0

-12х+6y-3z+21=0

4х-2y+z-7=0 – общее уравнение плоскости А₁А₂А₃

2) Уравнение прямой, проходящей через точку  А₄ перпендикулярно к плоскости А₁А₂А₃ :

, где =(A;B;C)– нормальный вектор к плоскости А₁А₂А₃.

=(4;-2;1)

– канонические уравнения прямой.

3) Расстояние от точки А₄ до плоскости А₁А₂А₃:

, где Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости А₁А₂А₃

A=4    B=-2    C=1    D=-7

4) Синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃:

, где – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор к плоскости.

(4-2;2-3;0-5)=(2;-1;-5)

=(4;-2;1)

5)      Косинус угла между координатной плоскостью Oxy  и  плоскостью А₁А₂А₃:

, где  и  – нормальные векторы плоскостей

=(0;0;1), =(4;-2;1)