Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду:

6x²+2xy+2y²=21

 

Решение

Матрица квадратичной формы Ф(x,y)= 6x²+2xy+2y²  имеет вид

А=

Решим характеристическое уравнение:

(6-λ)(2- λ )-5=0

λ₁=7, λ₂=1 – собственные значения матрицы А.

Найдем собственные векторы из системы

 

При λ₁=7 получим

=>  x₁=x₂

 

При λ₂=1 получим

=>  x₂=-x₁

 

Нормируем собственные векторы:

Составим матрицу перехода от старого базиса к новому:

T=

Выполняя преобразование

x=

y=

Из исходного уравнения кривой получим:

Получим

 

Приведем уравнение к каноническому виду

– каноническое уравнение эллипса с полуосями а=, b=.

Ответ: