Комбинация фигур

·         Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранник

·         Шар называется описанным около многогранника, а многогранник –вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника

·         Шар называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех его образующих.

·         Шар называется вписанным в конус, а конус – описанным около шара, если поверхность шара касается основания конуса и всех его образующих.

·         Шар называется вписанным в  усеченный конус, а  усеченный конус – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований конуса и всех его образующих.

·         Шар называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра принадлежат поверхности шара.

·         Шар называется описанным около конуса, если окружность  основания и вершина конуса принадлежат поверхности шара.

·         Шар называется описанным около усеченного конуса, если окружности  оснований конуса принадлежат поверхности шара.

Положение центра шара вписанного в многогранник

·         Центр шара вписанного в многогранник – это точка пересечения биссекторных плоскостей всех двухгранных углов многогранника. Он может быть расположен только внутри многогранника.

Положение центра шара описанного около многогранника

·         Центр шара, описанного около многогранника, это точки пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен, на поверхности и вне многогранника.

Положение центра шара вписанного в пирамиду

Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоско­сти основания, то в такую пирамиду можно вписать шар (условие достаточное, но не необходимое). Центр шара есть точка пересе­чения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, одной из сторон

которого служит высота боковой грани, проведенная из вершby пирамиды. В правильную пирамиду всегда можно вписать шар.

Положение центра шара вписанного в пирамиду

Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность. В частности, шар можно описать около треугольной пирамиды; около любой правильной пирамиды; около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов основания равна 180°. Центр шара, описанного около пирамиды, есть точка пересечения пря мой, перпендикулярной основанию пирамиды и проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру и проведенной через середину этого ребра.

Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар. Центр шара в этом случае находится в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.

Шар и призма

·         Шар, вписанный в призму, должен касаться всех ее граней. В приз­му можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение. Если при этом призма прямая, то ортогональная проекция шара на плоскость основания призмы является кругом, вписанным в многоугольник основания. Для наклонной призмы проекция шара на плоскость основания является кругом, выходящим за пределы основания. Но в любом случае высо­та призмы равна диаметру вписанного шара.

·         Описать шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около ее основания можно описать окружность. В этом случае многоугольники оснований призмы являются впи­санными в некоторое сечение шара, не проходящее через его центр, а все вершины призмы лежат на поверхности шара.

Конус и призма

Прямой круговой конус вписан в призму, если его вершина лежит на верхнем оснований призмы, а его основание есть круг, вписан­ный в многоугольник нижнего основания призмы. В этом случае многоугольник основания призмы должен быть таким, чтобы в него можно было вписать окружность. Прямая, перпендикулярная к нижнему основанию и проходящая через центр круга, вписан­ного в многоугольник оснований, должна пересекать верхнее ос­нование, так как эта прямая является осью конуса. Высота кону­са равна высоте призмы.

Прямой круговой конус описан около призмы, если все вершины верхнего основания призмы лежат на боковой поверхности кону­са, а нижнее основание призмы лежит в плоскости основания ко­нуса. В этом случае основанием призмы служит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, но нижнее основа­ние призмы не вписано в основание конуса.

Цилиндр и призма

Цилиндр может быть вписан в прямую призму, основаниями ко­торой являются многоугольники, в которые можно вписать ок­ружность.

Цилиндр может быть описан около прямой призмы, основанием которой являются многоугольники, около которых можно описать окружность. Высота призмы совпадает с высотой цилиндра.

Конус и пирамида

В правильную пирамиду можно вписать конус и описать около нее конус. При этом вершина конуса совпадает с вершиной пира­миды, основание конуса лежит в плоскости основания пирамиды и является вписанным или описанным кругом соответственно.

Цилиндр и пирамида

В пирамиду можно вписать прямой круговой цилиндр. При этом окружность одного из оснований цилиндра касается всех боковых граней пирамиды, а другое основание цилиндра лежит в плоско­сти основания пирамиды, но не является вписанным в многоуголь­ник основания, а находится внутри его.

Пирамида вписана в цилиндр, если ее основание лежит в плоско­сти одного из оснований цилиндра и является многоугольником, вписанным в окружность основания цилиндра, а вершина пира­миды находится в плоскости другого основания цилиндра.