ПОИСК




Страницы



Партнеры сайта

_________________________________




Некоторые способы решения тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравненийая страница  |  Некоторые способы решения тригонометрических уравнений

 


1)    Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента.

1.1.        Пусть имеется уравнение, левая часть которого содержит х только под знаком одной тригонометрической функции, например:


    ;; и т.д. Во всех случаях решение уравнение распадается на две подзадачи:
  • Решение алгебраического уравнения относительно новой переменной , ,
  •   Решение получившегося простейшего тригонометрического уравнения

 

1.2.        Уравнение типа , где действительные числа (такие уравнения называют однородными). Решается делением обеих частей уравнения на  (или на , хотя первый вариант чаще используется), после деления примем к уравнению , которое решается подстановкой .

В данном случае мы можем делить на  (или на ) так как  и .

1.3.        Уравнение типа  сводится к уравнению предыдущего типа, с использованием основного тригонометрического тождества

1.4.        Уравнение типа  сводится к уравнения типа 1.1. с использованием основного тригонометрического тождества:  

 и далее решается как уравнение типа 1.1.

1.5.        Уравнение типа  () (такие уравнения называют однородными) решают, деля обе части уравнения на  (или на , но первый вариант чаще используется), получим  (или )

1.6.        Если в уравнение входят тригонометрические функции различных аргументов, то  и в этом случае иногда представляется возможным выразить их все через одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента. Например,


2)    Способ разложения на множители

1.1.        Если в уравнении, приведенном к виду , его левая часть разлагается на множители, следует приравнять каждый из этих множителей к нулю. Получиться несколько отдельных уравнений, корни каждого из них будут корнями основного уравнения, если только они входят в ОДЗ (область допустимых значений) каждого из множителей левой части уравнения. Все полученные решения объединяются в одну совокупность решений первоначального уравнения. Например,    проверка показывает, что корни первого уравнения не удовлетворяют второму уравнению, следовательно решением первоначального уравнения является: .

1.2.        Уравнения типа: ; ; , где - любые действительные числа, причем ;.

  •   (применяем формулу преобразования разности в произведение) 
  • Аналогично и для уравнения
  •    (используя формулу приведения преобразуем одну из функций, например, ) Дальнейшее решение как в первом примере.  







3) Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
.

Допустим, что функции  и  входят в тригонометрическое уравнение только рационально. Пример таких уравнений: - является рациональным, - не является рациональным, - не является рациональным.

Используя формулы универсальной тригонометрической подстановки мы получаем уравнение относительно  , произведя подстановку  получаем рациональное уравнение относительно t.

!Следует заметить, что данный способ не всегда самый лучший, так как мы можем получить рациональное уравнение относительно t, решение которого связано не с меньшими трудностями. Чем исходное уравнение.

! Также применяя данную подстановку мы исключаем те значения х при которых  не имеет смысла, т.е. , но эти значения могут являться корнями исходного уравнения. Поэтому нужно обязательно проверить не являются ли значения  корнями исходного уравнения.


4)    Введение вспомогательного аргумента
  • Уравнение типа , где  решается путем деления на . Получим

Обозначим ,, тогда

, данное уравнение имеет решение при


5)    Преобразование произведения или разность. Уравнения типа:  ; ;;  при выполнении следующих условий:  или  могут быть решены с помощью приема, основанного на переходе от произведения к полусуммам или полуразностям. Для уравнения  получим  (если например ) получили уравнение рассмотренное в пункте 2.2.

 



6) Переход к функциям удвоенного аргумента.

  • Рассмотрим уравнения типа: ,

, где некоторые числа. Если числа   удовлетворяют условиям  или , то данные уравнения могут быть решены с использованием формулы понижения степени. Например для  (допустим )







   
7) Уравнение типа , где некоторые числа. Если числа   удовлетворяют условиям  решаем с помощью применения формулы , тогда получим  (так как )

 

 









меню пользователя

Не зарегистрирован

Главная::Для школьника::Для студента::Новости::Задать вопрос::Радианная мера углов
Яндекс.Метрика   Каталог TUT.BY
primer.by 2013-2016
Работает на: Amiro CMS